Question

2．已知點(diǎn)P（-1，$\frac{3}{2}$）是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知圓O：x²+y²=r²（0＜r＜b），直線l與圓O相切，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，求圓O的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：c=1，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）方法一：設(shè)A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），B（-ρ₂sinθ，ρ₂cosθ），代入橢圓方程，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即${r^2}=\frac{{{ρ_1}^2{ρ_2}^2}}{{{ρ_1}^2+{ρ_2}^2}}=\frac{12}{7}$，即可取得圓O的方程；
方法二：設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得7m²=12k²+12，則點(diǎn)到直線的距離公式即可求得半徑r，即可取得圓O的方程．

解答 解：（1）由題意可知：c=1，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，則a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
（2）方法一：設(shè)圓O：x²+y²=r²；由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
可設(shè)A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），則B（-ρ₂sinθ，ρ₂cosθ）
由條件得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{4}+\frac{{{{sin}^2}θ}}{3}\\ \frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{{{sin}^2}θ}}{4}+\frac{{{{cos}^2}θ}}{3}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$
由r•|AB|=ρ₁ρ₂，得：${r^2}=\frac{{{ρ_1}^2{ρ_2}^2}}{{{ρ_1}^2+{ρ_2}^2}}=\frac{12}{7}$，
∴圓O：$O：{x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$；
方法二：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+m²=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，則x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=0，
∴7m²=12k²+12，
∵直線l始終與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，
∴圓心（0，0）到直線y=kx+m的距離：
d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{丨m丨}{\sqrt{\frac{7}{12}{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=r，∴半徑的r的值為$\sqrt{\frac{12}{7}}$，
圓O：$O：{x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中檔題．