Question

17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin²B=2sinAsinC．
（1）若△ABC為等腰三角形，求頂角C的余弦值；
（2）若△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的三角形，且$|BC|=\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知的條件列出方程，由條件求出三邊的關(guān)系，由余弦定理求出cosC的值；
（2）由（1）和勾股定理可得a=c，由條件求出a、c的值，代入三角形的面積公式求出答案．

解答 解：（1）由sin²B=2sinAsinC及正弦定理得：b²=2ac，
又△ABC為等腰三角形，且頂角為C，
則a=b，即b=2c，a=2c，
由余弦定理可得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{7}{8}$；
（2）由（1）知，b²=2ac，
∵B=90°，∴a²+c²=b²，
∴a²+c²=2ac，即（a-c）²=0，則a=c，
由$|BC|=\sqrt{2}$得$c=a=\sqrt{2}$，
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理，以及三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．