Question

9．在正三棱錐內(nèi)有一半球，其底面與正三棱錐的底面在同一平面內(nèi)，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都和半球相切．如果半球的半徑等于1，正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為$3\sqrt{2}$，則正三棱錐的高等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 畫出圖形，設(shè)三棱錐的高 PO=x，在縱切面圖形可看出，Rt△PEO∽R(shí)t△POD，即可求出高的值．

解答 解：根據(jù)題意，畫出圖形如下，
其中，立體圖形只畫出了半球的底面．
∵正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為$3\sqrt{2}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設(shè)三棱錐的高 PO=x，在縱切面圖形可看出，Rt△PEO∽R(shí)t△POD，
∴$\sqrt{\frac{3}{2}+{x}^{2}}•1=\frac{\sqrt{6}}{2}•x$，
∴x=$\sqrt{3}$
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的內(nèi)接球的問(wèn)題，三角形相似的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．