Question

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若直線y=2x與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 求出直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：直線y=2x與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，
可得交點(diǎn)坐標(biāo)為：（c，2c），代入雙曲線方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{^{2}}=1$，
可得e²-1=$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$，e＞1，可得e²-1=2e，解得e=$\sqrt{2}+1$．
故答案為：$\sqrt{2}+1$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．