Question

已知中心在原點O，左焦點為F₁（-1，0）的橢圓C的左頂點為A，上頂點為B，F(xiàn)₁到直線AB的距離為

7

7

|OB|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C₁方程為：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），橢圓C₂方程為：

x2

m2

+

y2

n2

=λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C₂是橢圓C₁的λ倍相似橢圓．已知C₂是橢圓C的3倍相似橢圓，若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C₂于兩點M、N，試求弦長|MN|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓C₁方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線AB方程為：

x

-a

+

y

b

=1，F(xiàn)₁（-1，0）到直線AB距離為d=

|b-ab|

a2+b2

=

7

7

b，b²=a²-1，聯(lián)立解得即可．
（2）橢圓C₁的3倍相似橢圓C₂的方程為：

x2

12

+

y2

9

=1．對切線的斜率分類討論：若切線m垂直于x軸，求得|MN|=2

6

．若切線m不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：y=kx+m．將y=kx+m代人橢圓C₁方程，利用△=0，可得m²=4k²+3，記M、N兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．將y=kx+m代人橢圓C₂方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C₁方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴直線AB方程為：

x

-a

+

y

b

=1，
∴F₁（-1，0）到直線AB距離為d=

|b-ab|

a2+b2

=

7

7

b，化為a²+b²=7（a-1）²，
又b²=a²-1，
解得：a=2，b=

3

．
∴橢圓C₁方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）橢圓C₁的3倍相似橢圓C₂的方程為：

x2

12

+

y2

9

=1．
①若切線m垂直于x軸，則其方程為：x=±2，易求得|MN|=2

6

．
②若切線m不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：y=kx+m．
將y=kx+m代人橢圓C₁方程，得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=48（4k²+3-m²）=0，即m²=4k²+3，（*）
記M、N兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
將y=kx+m代人橢圓C₂方程，得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-36=0，
∴x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-36

3+4k2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3(12k2+9-m2)

3+4k2

=

4 6

3+4k2

，
∴|MN|=

(1+k2)

|x1-x2|=

4 6 1+k2

3+4k2

=2

6

1+ 1 3+4k2

∵3+4k²≥3，∴1＜1+

1

3+4k2

≤

4

3

，即2

6

＜2

6

1+ 1 3+4k2

≤4

2

，
綜合①②，得：弦長|MN|的取值范圍為[2

6

，4

2

]．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．