Question

17．圓x²+y²-2ax=0上有且僅有一點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)O（0，0）與A（3，0）的距離之比為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為{1，3}．

Answer 1

分析 求出到定點(diǎn)O（0，0）與A（3，0）的距離之比為2的點(diǎn)的軌跡是圓D，根據(jù)圓C上有且僅有一點(diǎn)滿足到定點(diǎn)O與A的距離之比為2時(shí)，兩圓相切，由此求出a的值．

解答 解：圓x²+y²-2ax=0可化為（x-a）²+y²=a²，
則圓心為C（a，0），半徑為|a|；
設(shè)圓上的點(diǎn)P（x，y），則|PO|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，
|PA|=$\sqrt{{（x-3）}^{2}{+y}^{2}}$，
由$\frac{|PO|}{|PA|}$=2，
得$\frac{\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}{\sqrt{{（x-3）}^{2}{+y}^{2}}}$=2，
化簡(jiǎn)得x²+y²-8x+12=0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-4）²+y²=4，
其圓心是D（4，0），半徑是2；
當(dāng)圓C上有且僅有一點(diǎn)滿足到定點(diǎn)O與A的距離之比為2時(shí)，兩圓相切；
外切時(shí)|4-a|=|a|+2，解得a=1；
兩圓內(nèi)切時(shí)，|4-a|=||a|-2|，解得a=3；
綜上，a的取值范圍是1≤a≤3．
故答案為：{1，3}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求點(diǎn)的軌跡的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．