Question

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx-x+1，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的最值；
（3）若xf′（x）≤x²+ax，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；
（2）已知單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)最值；
（3）xlnx≤x²+ax  等價(jià)轉(zhuǎn)化為：h（x）=lnx-x≤a，即求h（x）的最大值；

解答 解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋簒＞0；
∵f'（x）=lnx，令f'（x）=0，則x=1．
∴f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）∵f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0，無最大值；
（3）∵xf′（x）≤x²+ax，x＞0，
即：xlnx≤x²+ax
化簡(jiǎn)后：lnx-x≤a，
令h（x）=lnx-x，
對(duì)h（x）求導(dǎo)：h'（x）=$\frac{1}{x}$-1．令h'（x）=0，即得x=1；
所以，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
h（x）在x=1處取得最大值h（1）=-1；
∴a≥-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化法求參數(shù)范圍等知識(shí)點(diǎn)，屬中等題．