Question

9．以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線C的一條漸近線傾斜角為$\frac{π}{3}$，則雙曲線C的離心率為2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的焦點位置，分類討論：$\frac{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，或$\frac{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，根據(jù)c²=a²+b²即可求得即可求得a和c的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率．

解答 解：∵以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為$\frac{π}{3}$，
當雙曲線的焦點在x軸上時，$\frac{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
當雙曲線的焦點在y軸上時，$\frac{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
當$\frac{a}$=$\sqrt{3}$時，b=$\sqrt{3}$a，
c²=a²+3a²=4a²，c=2a，
此時e=$\frac{c}{a}$=2，
當$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，時，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，c²=a²+b²=a²+$\frac{1}{3}$a²=$\frac{4}{3}$a²，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
此時e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴雙曲線C的離心率2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程及雙曲線的離心率公式，考查分類討論思想，屬于中檔題．