Question

17．已知f（x）是定義在R上的函數，若函數y=f（x+1）為偶函數，且當x≥1時，有f（x）=1-2^x，設a=f（${\frac{3}{2}}$），b=f（${\frac{2}{3}}$），c=f（${\frac{1}{3}}$），則（　　）

• A． c＜b＜a
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 根據條件可得到x≥0時，f（x+1）=1-2^x+1，而根據f（x+1）為偶函數即可得到f（1-x）=1-2^x+1，x≥0，從而可求出f（$\frac{2}{3}$），$f（\frac{1}{3}）$，$f（\frac{3}{2}）$，并根據指數函數單調性比較這三個數的大�。�

解答 解：根據題意，x≥0時，f（x+1）=1-2^x+1；
∵f（x+1）為偶函數；
∴f（-x+1）=f（x+1）；
∴f（1-x）=1-2^x+1，x≥0；
∴$f（\frac{2}{3}）=f（1-\frac{1}{3}）=1-{2}^{\frac{4}{3}}$，$f（\frac{1}{3}）=f（1-\frac{2}{3}）=1-{2}^{\frac{5}{3}}$，$f（\frac{3}{2}）=1-{2}^{\frac{3}{2}}$；
$\frac{4}{3}＜\frac{3}{2}＜\frac{5}{3}$，∴${2}^{\frac{4}{3}}＜{2}^{\frac{3}{2}}＜{2}^{\frac{5}{3}}$；
∴c＜a＜b．
故選C．

點評 考查已知f（x）求f（1+x）的方法，及這兩函數自變量的范圍的不同，偶函數的定義，以及指數函數的單調性．