Question

14．已知平面上一定點(diǎn)C（4，0）和一定直線l：x=1，P（x，y）為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且$|\overrightarrow{PC}|=2|\overrightarrow{PQ}|$
（1）問點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與（1）中的曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D（0，-2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{PQ}$|，得（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，由此得到P點(diǎn)在雙曲線上，并能求出其方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3-k²）x²-2kx-13=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、圓、直線垂直，結(jié)合已知條件能求出存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D（0，-2）．

解答 解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
由|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{PQ}$|，得|$\overrightarrow{PC}$|²=4|$\overrightarrow{PQ}$|²，
∴（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，
化簡(jiǎn)，得$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴P點(diǎn)在雙曲線上，其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3-k²）x²-2kx-13=0，
∵AB與雙曲線交于兩點(diǎn)，∴△=4k²-4（3-k²）（-13）＞0，
解得-$\frac{\sqrt{13}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{13}{3-{k}^{2}}$，
∵以AB為直徑的圓過D（0，-2），則AD⊥BD，
∴k_AD•k_BD=-1，即$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=-1，
∴（y₁+2）（y₂+2）+x₁x₂=0，∴（kx₁+3）（kx₂+3）+x₁x₂=0，
∴（k²+1）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
∴（k²+1）（-$\frac{13}{3-{k}^{2}}$）+3k$•\frac{2k}{3-{k}^{2}}$+9=0，
解得k²=$\frac{7}{8}$，∴k=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$∈（-$\frac{\sqrt{13}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$），
∴存在k的值為±$\frac{\sqrt{14}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線類型的判斷及其方程的求法，考查滿足條件的直線的斜率是否存在的判斷與求法，考查雙曲線、根的判別式、韋達(dá)定理、圓、直線垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．