14.已知平面上一定點(diǎn)C(4,0)和一定直線l:x=1,P(x,y)為該平面上一動(dòng)點(diǎn),作PQ⊥l,垂足為Q,且$|\overrightarrow{PC}|=2|\overrightarrow{PQ}|$
(1)問點(diǎn)P在什么曲線上?并求出該曲線的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+1與(1)中的曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B,是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D(0,-2)?若存在,求出k的值,若不存在,說明理由.

分析 (1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{PQ}$|,得(x-4)2+y2-4(x-1)2=0,由此得到P點(diǎn)在雙曲線上,并能求出其方程.
(2)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$,得(3-k2)x2-2kx-13=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、圓、直線垂直,結(jié)合已知條件能求出存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D(0,-2).

解答 解:(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
由|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{PQ}$|,得|$\overrightarrow{PC}$|2=4|$\overrightarrow{PQ}$|2,
∴(x-4)2+y2-4(x-1)2=0,
化簡(jiǎn),得$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1,
∴P點(diǎn)在雙曲線上,其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$,得(3-k2)x2-2kx-13=0,
∵AB與雙曲線交于兩點(diǎn),∴△=4k2-4(3-k2)(-13)>0,
解得-$\frac{\sqrt{13}}{2}$<k<$\frac{\sqrt{13}}{2}$,
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k}{3-{k}^{2}}$,${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{13}{3-{k}^{2}}$,
∵以AB為直徑的圓過D(0,-2),則AD⊥BD,
∴kAD•kBD=-1,即$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=-1,
∴(y1+2)(y2+2)+x1x2=0,∴(kx1+3)(kx2+3)+x1x2=0,
∴(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0,
∴(k2+1)(-$\frac{13}{3-{k}^{2}}$)+3k$•\frac{2k}{3-{k}^{2}}$+9=0,
解得k2=$\frac{7}{8}$,∴k=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$∈(-$\frac{\sqrt{13}}{2}$,$\frac{\sqrt{13}}{2}$),
∴存在k的值為±$\frac{\sqrt{14}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線類型的判斷及其方程的求法,考查滿足條件的直線的斜率是否存在的判斷與求法,考查雙曲線、根的判別式、韋達(dá)定理、圓、直線垂直等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí),是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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x3456789
y66697381899091
已知$\sum_{i=1}^7{{x_i}^2}$=280,$\sum_{i=1}^7{{y_i}^2}=45309$,$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}}=3487$線性回歸方程,
(1)求$\overline{x}$,$\overline{y}$;    
(2)畫出散點(diǎn)圖;
(3)求純利潤(rùn)y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸直線方程.
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$=a+bx,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$.

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日期晝夜溫差x(℃)就診人數(shù)y(人)
1月10日1125
2月10日1329
3月10日1226
4月10日816
(1)請(qǐng)根據(jù)1至4月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=bx+a;
(2)根據(jù)線性回歸方程,估計(jì)晝夜溫差為14℃時(shí),就診人數(shù)為多少人?
(參考公式:b=$\frac{\sum_{i=1}^{4}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{4}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$.)

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