分析 (1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{PQ}$|,得(x-4)2+y2-4(x-1)2=0,由此得到P點(diǎn)在雙曲線上,并能求出其方程.
(2)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$,得(3-k2)x2-2kx-13=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、圓、直線垂直,結(jié)合已知條件能求出存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D(0,-2).
解答 解:(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
由|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{PQ}$|,得|$\overrightarrow{PC}$|2=4|$\overrightarrow{PQ}$|2,
∴(x-4)2+y2-4(x-1)2=0,
化簡(jiǎn),得$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1,
∴P點(diǎn)在雙曲線上,其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$,得(3-k2)x2-2kx-13=0,
∵AB與雙曲線交于兩點(diǎn),∴△=4k2-4(3-k2)(-13)>0,
解得-$\frac{\sqrt{13}}{2}$<k<$\frac{\sqrt{13}}{2}$,
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k}{3-{k}^{2}}$,${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{13}{3-{k}^{2}}$,
∵以AB為直徑的圓過D(0,-2),則AD⊥BD,
∴kAD•kBD=-1,即$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=-1,
∴(y1+2)(y2+2)+x1x2=0,∴(kx1+3)(kx2+3)+x1x2=0,
∴(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0,
∴(k2+1)(-$\frac{13}{3-{k}^{2}}$)+3k$•\frac{2k}{3-{k}^{2}}$+9=0,
解得k2=$\frac{7}{8}$,∴k=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$∈(-$\frac{\sqrt{13}}{2}$,$\frac{\sqrt{13}}{2}$),
∴存在k的值為±$\frac{\sqrt{14}}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線類型的判斷及其方程的求法,考查滿足條件的直線的斜率是否存在的判斷與求法,考查雙曲線、根的判別式、韋達(dá)定理、圓、直線垂直等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí),是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-2) | B. | (-∞,1) | C. | (-2,4) | D. | (1,+∞) |
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x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y | 66 | 69 | 73 | 81 | 89 | 90 | 91 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
日期 | 晝夜溫差x(℃) | 就診人數(shù)y(人) |
1月10日 | 11 | 25 |
2月10日 | 13 | 29 |
3月10日 | 12 | 26 |
4月10日 | 8 | 16 |
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