Question

14．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2．
（1）求$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$的值；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，再計(jì)算$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$；
（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積公式，求出模長(zhǎng)|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2；
∴${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=2²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1²=2²，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，
∴$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$
=2×2²-3×$\frac{1}{2}$-2×1²
=$\frac{9}{2}$；
（2）∵${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$
=2²+2×$\frac{1}{2}$+1²
=6，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積與模長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題，是綜合題．