Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁a₅=64，S₅-S₃=48．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)有正整數(shù)m，l（5＜m＜l），使得a_m，5a₅，a_l成等差數(shù)列，求m，l的值；
（3）設(shè)k，m，l∈N*，k＜m＜1，對(duì)于給定的k，求三個(gè)數(shù) 5a_k，a_m，a_l經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，由a₁a₅=${{a}_{3}}^{2}$=64，得a₃=8，再由S₅-S₃=48，q=2，由此能求出a_n．
（2）由a_m，5a₅，a_l成等差數(shù)列，得到5=2^m-6+2^l-6，從而2^m-6，2^l-6中有且只有一個(gè)等于1，再由正整數(shù)m，l滿(mǎn)足5＜m＜l，能求出結(jié)果．
（3）設(shè)5a_k，a_m，a_l經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，由2•5a_k=a_m+a_l，得到$\left\{\begin{array}{l}m=k+1\\ l=k+3\end{array}$；由2a_m=5a_k+a_l，得到等式2a_m=5a_k+a_l不成立；由2a_l=5a_k+a_m，推導(dǎo)出等式也不成立，從而m=k+1，l=k+3．由此推導(dǎo)出5a_k，a_m，a_l經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件為$\left\{\begin{array}{l}m=k+1\\ l=k+3\end{array}$．

解答 解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，且q＞0．
又a₁a₅=${{a}_{3}}^{2}$=64，且a₃＞0，所以a₃=8．
又因?yàn)镾₅-S₃=48，所以a₄+a₅=8q²+8q=48，解得q=2，所以a_n=2ⁿ．
（2）因?yàn)閍_m，5a₅，a_l成等差數(shù)列，所以10a₅=a_m+a₁，即10×2⁵=2^m+2^l．
所以5=2^m-6+2^l-6．
故2^m-6，2^l-6中有且只有一個(gè)等于1．
因?yàn)檎�整�?shù)m，l滿(mǎn)足5＜m＜l，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{m-6}=1}\\{{2}^{l-6}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{l=8}\end{array}\right.$．
（3）設(shè)5a_k，a_m，a_l經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列．
①若2•5a_k=a_m+a_l，則10•2^k=2^m+2^l，
當(dāng)且僅當(dāng)10=2^m-k+2^l-k，當(dāng)且僅當(dāng)5=2^m-k-1+2^l-k-1．
因?yàn)檎�整�?shù)k，m，l滿(mǎn)足k＜m＜l，當(dāng)且僅當(dāng)l-k-1＞m-k-1≥0，且l-k-1≥1，
所以 2^l-k-1＞2^m-k-1≥1，2^l-k-1≥2．當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}2m-k-1=1\\ 2l-k-1=4\end{array}$ 即$\left\{\begin{array}{l}m=k+1\\ l=k+3\end{array}$
②若2a_m=5a_k+a_l，則2•2^m=5•2^k+2^l，所以2^m+1-k-2^l-k=5（*）．
因?yàn)閙+1-k≥2，l-k≥2，
所以2^m+1-k與2^l-k都為偶數(shù)，而5是奇數(shù)，所以，等式（*）不成立，
從而等式2a_m=5a_k+a_l不成立．
③若2a_l=5a_k+a_m，則同②可知，該等式也不成立．
綜合①②③，得m=k+1，l=k+3．
設(shè)m=k+1，l=k+3，則5a_k，a_m，a_l為5a_k，a_k+1，a_k+3，即5a_k，2a_k，8a_k．
調(diào)整順序后易知2a_k，5a_k，8a_k成等差數(shù)列．
綜上所述，5a_k，a_m，a_l經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件為$\left\{\begin{array}{l}m=k+1\\ l=k+3\end{array}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列、裂項(xiàng)求和法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．