Question

14．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若M是PC的中點，求三棱錐M-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出BC⊥AC，BC⊥PA，由此能證明BC⊥平面PAC．
（2）求出三角形ADC面積，由M是PC的中點，得M到平面ACD的距離h=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，由此能求出三棱錐M-ACD的體積．

解答 證明：（1）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，
∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，
∴BC⊥AC，BC⊥PA，
∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．
解：（2）${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×AD×DC$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∵M是PC的中點，M到平面ACD的距離h=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，
∴三棱錐M-ACD的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．