Question

19．下列敘述中正確的有（2）（3）（4）．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）
（1）命題?x＞0，ln（x+1）＞0 的否定為?x₀＞0，ln（x₀+1）＜0
（2）若函數(shù)f（x）=（m²-1）x^m是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) m=$\sqrt{2}$
（3）函數(shù)y=3^x的圖象與函數(shù)y=-3^-x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（4）若函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，則f（x）+f（1-x）=1
（5）函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3），若f（x）值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可判斷正誤；
（2）根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，求出m的值即可；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（4）計(jì)算f（x）+f（1-x）的值即可；
（5）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：對(duì)于（1），命題?x＞0，ln（x+1）＞0 的否定為?x₀＞0，ln（x₀+1）≤0，∴（1）錯(cuò)誤；
對(duì)于（2），函數(shù)f（x）=（m²-1）x^m是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-1=1}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得m=$\sqrt{2}$，∴（2）正確；
對(duì)于（3），任取函數(shù)y=3^x的圖象的點(diǎn)P（x，y），它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P′（-x，-y），
在函數(shù)y=-3^-x的圖象上，反之也成立，∴（3）正確；
對(duì)于（4），函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，則
f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{2{+4}^{x}}$=1，∴（4）正確；
對(duì)于（5），函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）的值域?yàn)镽，則
（-2a）²-12≥0，解得a≤-$\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．
綜上，以上正確的命題是（2）、（3）、（4）．
故答案為：（2）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題利用命題真假的判斷考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯以及冪函數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合題．