Question

7．已知f（x）為二次函數(shù)，且f（-1）=1，f'（0）=2，${∫}_{0}^{3}$f（x）dx=12；
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=$\sqrt{f（x）-4}$，求${∫}_{0}^{2}$g（x）dx的值．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)，根據(jù)條件建立三個方程，求出參數(shù)即可，
（2）根據(jù)定積分的幾何意義即可求出

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
則f′（x）=2ax+b．
由f（-1）=2，f′（0）=0得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=1}\\{b=2}\end{array}\right.$即c=3-a，b=2
∴f（x）=ax²+2x+（3-a）．
又∫₀³f（x）dx=∫₀³[ax²+2x+（3-a）dx=[$\frac{1}{3}$ax³+x²+（3-a）x]|₀³=6a+18=12，
∴a=-1，∴c=4．
從而f（x）=-x²+2x+4．
（2）g（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+4-4}$=$\sqrt{-{x}^{2}+2x}$，
∵${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{-{x}^{2}+2x}$表示以（1，0）為圓心以1為半徑的圓的面積的二分之一，
∴${∫}_{0}^{2}$g（x）dx=$\frac{π}{2}$

點評 本題考查了定積分的計算和定積分的幾何意義以及待定系數(shù)法，屬于中檔題