Question

4．設(shè)f（x）=a（x-5）²+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2．
（1）確定a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）依題意，f′（1）=2，解得a．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx（x＞0），f′（x）=x-5+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$．令f′（x）=0，得x=2或3．可得x，f′（x），f（x）的變化情況列出表格，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答 解：（1）f′（x）=2a（x-5）+$\frac{6}{x}$，
依題意，f′（1）=6-8a=2，得a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx（x＞0），
f′（x）=x-5+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$．
令f′（x）=0，得x=2或3．
x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）和（3，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（2，3）．
f（x）的極大值f（2）=$\frac{9}{2}$+6ln2，極小值f（3）=2+6ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．