Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n-1=${（{\frac{1}{3}}）^n}$（n≥2），S_n=a₁•3+a₂•3²+…+a_n•3ⁿ，則4S_n-a_n•3ⁿ⁺¹=$\left\{\begin{array}{l}{-5，}&{n=1}\\{n+2，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用S_n的表達(dá)式，求出3S_n的表達(dá)式，錯(cuò)位求和，化簡(jiǎn)可得所求表達(dá)式的結(jié)果．

解答 解：因?yàn)镾_n=a₁•3+a₂•3²+…+a_n•3ⁿ，
所以3S_n=a₁•3²+a₂•3³+…+a_n•3ⁿ⁺¹，
所以4S_n=3a₁+3²（a₁+a₂）+3³（a₂+a₃）+…+3ⁿ（a_n-1+a_n）+a_n•3ⁿ⁺¹，
所以4S_n-a_n•3ⁿ⁺¹=3a₁+3²（a₁+a₂）+3³（a₂+a₃）+…+3ⁿ（a_n-1+a_n），
又因?yàn)閍₁=1，a_n+a_n-1=${（{\frac{1}{3}}）^n}$（n≥2），
所以4S_n-a_n•3ⁿ⁺¹=3+3²•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3³$•\frac{1}{{3}^{3}}$+…+3ⁿ•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=3+1+1+…+1=3+（n-1）=n+2（n≥2），
又因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，4S₁-a₁•3¹⁺¹=-5不滿足上式，
所以4S_n-a_n•3ⁿ⁺¹=$\left\{\begin{array}{l}{-5，}&{n=1}\\{n+2，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{-5，}&{n=1}\\{n+2，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．