Question

18．已知圓O：x²+y²=1，點P為直線x-2y-3=0上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A、B為切點，則直線AB經(jīng)過定點（　�。�

• A． （2，0）
• B． （3，0）
• C． （$\frac{1}{2}$，-1）
• D． （$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為P（2m+3，m），由切線的性質(zhì)得點A、B在以O(shè)P為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過的定點坐標(biāo)．

解答 解：因為P是直線x-2y-3=0的任一點，所以設(shè)P（2m+3，m），
因為圓x²+y²=1的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，
所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，
則點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，
則圓心C的坐標(biāo)是（m+$\frac{3}{2}$，$\frac{m}{2}$），且半徑的平方是r²=$\frac{（2m+3）^{2}+{m}^{2}}{4}$，
所以圓C的方程是（x-m-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{（2m+3）^{2}+{m}^{2}}{4}$，①
又x²+y²=1，②，
②-①得，（2m+3）x+my-1=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m+3）x+my-1=0，
即m（2x+y）+（3x-1）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-1=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{1}{3}$，y=-$\frac{2}{3}$，
所以直線AB恒過定點（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
故選D．

點評 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，以及直線過定點問題，屬于中檔題．