Question

18．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=8，設∠BAC=θ，△ABC的面積是S，且滿足$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}≤S≤4\sqrt{3}$．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數f（θ）=2sin²θ-$\sqrt{3}$sin2θ的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量數量積的定義和三角形面積公式，求出角θ的取值范圍；
（2）化簡f（θ）為正弦型函數，根據θ的取值范圍求出f（θ）的最值．

解答 解：（1）△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$，
∴bccosθ=8，
∴$bc=\frac{8}{cosθ}$；
又△ABC的面積為$S=\frac{1}{2}bcsinθ=4tanθ$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤tanθ≤\sqrt{3}$；
又θ∈（0，π），
∴$θ∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$；…．（7分）
（2）$f（θ）=2{sin^2}θ-\sqrt{3}sin2θ$
=$1-2（\frac{1}{2}cos2θ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2θ）$
=$1-2（sin\frac{π}{6}cos2θ+cos\frac{π}{6}sin2θ）$
=$1-2sin（2θ+\frac{π}{6}）$，…（10分）
由（1）知，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2θ+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
當$θ=\frac{π}{6}$時，f（θ）_min=1-2×1=-1；
當$θ=\frac{π}{3}$時，f（θ）_max=1-2×$\frac{1}{2}$=0．…（14分）（未指出θ值各扣1分）

點評 本題考查了平面向量的數量積運算與三角恒等變換問題，也考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是中檔題．