18.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$(α為參數(shù));在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ=sinθ.
(Ⅰ)求C1的普通方程和C2的直角坐標方程;
(Ⅱ)若射線l:y=kx(x≥0)分別交C1,C2于A,B兩點(A,B異于原點).當$k∈(1,\sqrt{3}]$時,求|OA|•|OB|的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由題意得,由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$,利用平方關系可得C1的普通方程為(x-1)2+y2=1.方程ρcos2θ=sinθ可化為ρ2cos2θ=ρsinθ,將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程之間坐標方程.
(Ⅱ)聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{(x-1)^2}+{y^2}=1\\ y=kx\end{array}\right.$,可得A坐標.聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$,可得B,進而得出|OA|•|OB|的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)由題意得,由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$可得(x-1)2+y2=cos2α+sin2α,
即C1的普通方程為(x-1)2+y2=1.(2分)
方程ρcos2θ=sinθ可化為ρ2cos2θ=ρsinθ…(*),
將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程(*),可得x2=y.(5分)
(Ⅱ)聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{(x-1)^2}+{y^2}=1\\ y=kx\end{array}\right.$得$A\;(\frac{2}{{{k^2}+1}},\frac{2k}{{{k^2}+1}})$.(7分)
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$,可得B(k,k2),
所以$|{OA}|•|{OB}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{2}{{{k^2}+1}}•\sqrt{1+{k^2}}•k=2k$.(9分)
又$k∈(1,\sqrt{3}]$,所以$|{OA}|•|{OB}|∈(2,2\sqrt{3}]$.(10分)

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標方程化為極坐標方程、曲線的交點,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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(1)求圓C的極坐標方程;
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