Question

18．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的極坐標方程為ρcos²θ=sinθ．
（Ⅰ）求C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若射線l：y=kx（x≥0）分別交C₁，C₂于A，B兩點（A，B異于原點）．當$k∈（1，\sqrt{3}]$時，求|OA|•|OB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得，由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，利用平方關系可得C₁的普通方程為（x-1）²+y²=1．方程ρcos²θ=sinθ可化為ρ²cos²θ=ρsinθ，將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程之間坐標方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^2}+{y^2}=1\\ y=kx\end{array}\right.$，可得A坐標．聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，可得B，進而得出|OA|•|OB|的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$可得（x-1）²+y²=cos²α+sin²α，
即C₁的普通方程為（x-1）²+y²=1．（2分）
方程ρcos²θ=sinθ可化為ρ²cos²θ=ρsinθ…（*），
將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程（*），可得x²=y．（5分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^2}+{y^2}=1\\ y=kx\end{array}\right.$得$A\;（\frac{2}{{{k^2}+1}}，\frac{2k}{{{k^2}+1}}）$．（7分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，可得B（k，k²），
所以$|{OA}|•|{OB}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{2}{{{k^2}+1}}•\sqrt{1+{k^2}}•k=2k$．（9分）
又$k∈（1，\sqrt{3}]$，所以$|{OA}|•|{OB}|∈（2，2\sqrt{3}]$．（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標方程化為極坐標方程、曲線的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．