Question

10．設(shè)圓C滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；③圓心到直線l：x-2y=0的距離為d．當d最小時，圓C的面積為2π．

Answer 1

分析 設(shè)圓心P（a，b），根據(jù)所給條件得出P的軌跡方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心P到直線l的距離d，利用基本不等式得出d取得最小值的條件，求出此時圓的半徑即可得出答案．

解答 解：設(shè)圓心P（a，b），半徑為r，則|b|=$\frac{r}{\sqrt{2}}$，即2b²=r²，
又|a|²+1=r²，所以a²+1=r²，
兩式相減得：2b²=a²+1，
點P到直線x-2y=0的距離d=$\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}$，
∴5d²=a²-4ab+4b²≥a²+4b²-2（a²+b²）=2b²-a²=1，
當且僅當a=b時取等號，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{2^{2}={a}^{2}+1}\end{array}\right.$得a=b=1或a=b=-1，
∴當d取得最小值時，圓的半徑r=$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，
∴圓的面積S=2π．
故答案為：2π．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．