Question

8．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（0，\sqrt{2}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B是橢圓C的左，右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，以原點(diǎn)O為端點(diǎn)分別作與直線AP和BP平行的射線，交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求證：△OMN的面積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（0，\sqrt{2}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程給求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），當(dāng)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在x軸同側(cè)，不妨設(shè)x₁＞0，x₂＜0，y₁＞0，y₂＞0，推導(dǎo)出${y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}$，${y}_{2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}{x}_{2}$，且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，過(guò)M，N作x軸的垂線，垂足分別為M′，N′，${S}_{△OMN}={S}_{四邊形M{M}^{'}{N}^{'}N}$-${S}_{△OM{M}^{'}}-{S}_{△ON{N}^{'}}$=-${x}_{1}{x}_{2}•\frac{1}{{y}_{0}}$，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1}\\{{y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}}\end{array}\right.$，得${{x}_{1}}^{2}+2（\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}）^{2}=4$，由此求出${S}_{△OMN}=\sqrt{2}$．當(dāng)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在x軸異側(cè)，同理得${S}_{△OMN}=\sqrt{2}$，由此能證明△OMN的面積為定值$\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（0，\sqrt{2}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
證明：（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①M(fèi)（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在x軸同側(cè)，不妨設(shè)x₁＞0，x₂＜0，y₁＞0，y₂＞0，
射線OM的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}x$，射線ON的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}x$，
∴${y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}$，${y}_{2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}{x}_{2}$，且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，
過(guò)M，N作x軸的垂線，垂足分別為M′，N′，
${S}_{△OMN}={S}_{四邊形M{M}^{'}{N}^{'}N}$-${S}_{△OM{M}^{'}}-{S}_{△ON{N}^{'}}$
=$\frac{1}{2}[（{y}_{1}+{y}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）-{x}_{1}{y}_{1}+{x}_{2}{y}_{2}]$
=$\frac{1}{2}（{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}）=\frac{1}{2}（{x}_{1}•\frac{{y}_{0}{x}_{2}}{{x}_{0}-2}{-x}_{2}•\frac{{y}_{0}{x}_{1}}{{x}_{0}+2}）$
=$\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}•\frac{4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}•\frac{4{y}_{0}}{-2{y}_{0}}$=-${x}_{1}{x}_{2}•\frac{1}{{y}_{0}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1}\\{{y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}}\end{array}\right.$，得${{x}_{1}}^{2}+2（\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}{x}_{1}）^{2}=4$，
即${{x}_{1}}^{2}=\frac{4（{x}_{0}+2）^{2}}{（{x}_{0}+2）^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{4（{x}_{0}+2）^{2}}{（{x}_{0}+2）^{2}+4-{{x}_{0}}^{2}}$=2+x₀，
同理，${{x}_{2}}^{2}$=2-x₀，∴${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=4-${{x}_{0}}^{2}$=2${{y}_{0}}^{2}$，即${x}_{1}{x}_{2}=-\sqrt{2}{y}_{0}$，
∴${S}_{△OMN}=\sqrt{2}$．
②M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在x軸異側(cè)，同理①得${S}_{△OMN}=\sqrt{2}$，
綜合①②，△OMN的面積為定值$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積為定值的證明，考查橢圓、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．