Question

7．在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2acosθ（a＞0），以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求直角坐標(biāo)系下圓C的標(biāo)準方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與圓C恒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²=2aρcosθ，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，由此能求出直角坐標(biāo)系下圓C的標(biāo)準方程；直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出直線l的普通方程．
（2）圓心C（a，0）到直線l的距離為d=$\frac{|4a+5|}{5}$，由直線l與圓C恒有公共點，得d≤a．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵圓C的方程為ρ=2acosθ（a＞0），
∴ρ²=2aρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴x²+y²=2ax，
∴直角坐標(biāo)系下圓C的標(biāo)準方程為（x-a）²+y²=a²．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)，得直線l的普通方程為4x-3y+5=0．
（2）圓心C（a，0）到直線l的距離為d=$\frac{|4a+5|}{5}$，
∵直線l與圓C恒有公共點，∴d≤a．
∴實數(shù)a的取值范圍是[5，+∞）．

點評 本題考查直角坐標(biāo)系下圓的標(biāo)準方程和直線的普通方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．