Question

5．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，拋物線的方程為x²=a²y，直線l：x-y-1=0過橢圓C的右焦點F且與拋物線相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A，B為拋物線上兩個不同的點，l₁，l₂分別與拋物線相切于A，B，l₁，l₂相交于E點，弦AB的中點為D，求證：直線ED與x軸垂直．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的導數(shù)求出切線方程，然后求解離心率得到a，b，然后求解橢圓方程．
（2）拋物線的方程為x²=4y，設$A（{{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}}），B（{{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}}）（{{x_1}≠{x_2}}）$，拋物線在$A（{{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}}）$處的切線方程為$y-\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{x_1}{2}（{x-{x_1}}）$，即$y=\frac{x_1}{2}x-\frac{{{x_1}^2}}{4}$，同理拋物線在 $B（{{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}}）$處的切線方程為$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{{{x_2}^2}}{4}$，求出DE橫坐標，推出結果．

解答 解：（1）由x²=a²y，得$y=\frac{1}{a^2}{x^2}$，所以$y'=\frac{2}{a^2}x$，
設直線與拋物線相切的切點為$（{{x_0}，\frac{{{x_0}^2}}{a^2}}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2{x_0}}}{a^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{a^2}={x_0}-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2\\{a^2}=4\end{array}\right.$，
又直線l：x-y-1=0過橢圓的右焦點，所以c=1，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）證明：由（1）可知拋物線的方程為x²=4y，設$A（{{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}}），B（{{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}}）（{{x_1}≠{x_2}}）$，
拋物線在$A（{{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}}）$處的切線方程為$y-\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{x_1}{2}（{x-{x_1}}）$，即$y=\frac{x_1}{2}x-\frac{{{x_1}^2}}{4}$，①
同理拋物線在 $B（{{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}}）$處的切線方程為$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{{{x_2}^2}}{4}$，②
①-②得$\frac{x_1}{2}x-\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{x_2}{2}x-\frac{{{x_2}^2}}{4}$，可得$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，
即${x_E}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，D為AB的中點，則${x_D}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，
所以x_D=x_E，即直線ED與x軸垂直．

點評 本題考查拋物線方程以及橢圓的方程的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，設而不求方法的應用．