Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象如圖所示，若f（α）=1，則cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題意，可得A=2，圖象過（$\frac{π}{3}$，-2）和（$\frac{7}{12}π$，0），可得周期T=4×$（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）$，從而求出ω．將坐標(biāo)帶入求出φ，根據(jù)f（α）=1，求出有關(guān)系α的關(guān)系式，求解出cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：由題意，可得A=2，圖象過（$\frac{π}{3}$，-2）和（$\frac{7}{12}π$，0），可得周期T=4×$（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）$，即T=$\frac{2π}{ω}$=π
∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ）
將坐標(biāo)（$\frac{π}{3}$，-2）帶入，可得$\frac{2π}{3}$+φ=kπ$-\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{5π}{6}$
可得f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$）
那么f（α）=2sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=1
sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
sin（2α+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$）=cos（2α$+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．