Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=2-3S_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由已知條件a_n=2-3S_n得到a_n-1=2-3S_n-1，將這兩個(gè)式子相減，再結(jié)合數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的定義易得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的通項(xiàng)公式不難推出：b_n=log₂a_n=1-2n，所以利用裂項(xiàng)相消法來(lái)求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，∵a_n=2-3S_n…①
∴a_n-1=2-3S_n-1…②
①-②得：a_n-a_n-1=-3（S_n-S_n-1）=-3a_n
∴4a_n=a_n-1；即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{4}$，
又a₁=2-3S₁=2-3a₁；得：a₁=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列
∴a_n=$\frac{1}{2}$×（ $\frac{1}{4}$）^n-1=2^1-2n（n∈N^*），即a_n=2^1-2n（n∈N^*），
（Ⅱ）∵a_n=2^1-2n（n∈N^*），b_n=log₂a_n，
∴b_n=log₂a_n=log₂2^1-2n=1-2n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（1-2n）（1-2n-2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，利用裂項(xiàng)相消求和法是解決本題的關(guān)鍵．