Question

3．已知過(guò)拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F且斜率為$\frac{3}{4}$的直線與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)為P，且|PF|=5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)F且斜率不為0直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K，點(diǎn)A與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求證：K，A，M三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$cos∠AFP=\frac{3}{5}$，求得|PA|=3，根據(jù)拋物線的定義，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率求得k₁+k₂=0，則K，A，M三點(diǎn)共線．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），過(guò)P作PA⊥y軸于A，
∵直線PF的斜率為$\frac{3}{4}$，則$cos∠AFP=\frac{3}{5}$，
∵|PF|=5，則|PA|=3，則${y_0}=\frac{p}{2}+3$，
由拋物線的定義得$\frac{p}{2}+{y_0}=5$，得p=2
∴拋物線方程為x²=4y．
（2）證明：由（1）得F（0，1），K（0，-1），設(shè)直線l的方程為y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵k≠0，∴A與M不重合，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
設(shè)直線KM和KN的斜率分別為k₁，k₂，
∵${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}+1}}{x_1}+\frac{{{y_2}+1}}{x_2}=\frac{{2k{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{-8k+8k}{{{x_1}{x_2}}}=0$
∴直線KMG與KN關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴K，A，M三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．