Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，拋物線C上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求以點(diǎn)M（3，2）為中點(diǎn)的弦所在直線方程．

Answer 1

分析 （1）先求拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義，即可求得結(jié)論；
（2）利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得AB的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得AB的方程．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{p}{2}$，
∵拋物線C上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為5，
∴根據(jù)拋物線的定義可知，3+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=4
∴拋物線C的方程是y²=8x；
（2）由點(diǎn)M（3，2）為中點(diǎn)的弦與拋物線y²=8x交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∴y_i²=8x₁，y₂²=8x₂，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式y(tǒng)₁+y₂=2×2=4，
兩式相減得到（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2，
∴直線方程為y-2=2（x-3），即y-2x+4=0，
以點(diǎn)M（3，2）為中點(diǎn)的弦所在直線方程y-2x+4=0．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的定義，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)差法求拋物線的直線方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．