Question

1．函數(shù)y=2$\sqrt{3}sinxcosx+8si{n}^{2}x+2co{s}^{2}$x，
（1）求函數(shù)y的最小值及取得最小值時(shí)x的集合；
（2）求函數(shù)y的對稱軸．對稱中心；
（3）求函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的最值，求得函數(shù)y的最小值及取得最小值時(shí)x的集合；
（2）利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得函數(shù)y的對稱軸．對稱中心．
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=2$\sqrt{3}sinxcosx+8si{n}^{2}x+2co{s}^{2}$x=$\sqrt{3}$sin2x+6•$\frac{1-cos2x}{2}$+2
=$\sqrt{3}$sin2x-3cos2x+5=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+5=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+5，
故當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2$\sqrt{3}$+5，此時(shí)，x的集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z}．
（2）令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，可得函數(shù)取的圖象的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)取的圖象的對稱中心為（ $\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的最值、單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．