Question

1．已知直線l與拋物線y²=-x相交于A，B兩點．A，B在準線上的攝影分別為A₁，B₁．
（Ⅰ）若線段AB的中點坐標為（-4，1），求直線l的方程；
（Ⅱ）若直線l方程為x=my-1，m∈R，求梯形AA₁B₁B的面積（用m表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，利用線段AB的中點坐標為（-4，1），設出直線方程，利用韋達定理，求出k，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）若直線l方程為x=my-1，m∈R，求出上底、下底、高，即可求梯形AA₁B₁B的面積（用m表示）．

解答 解：（Ⅰ）當直線l斜率不存在時，直線l方程為：x=-4，此時AB中點坐標為（-4，0），不符合題意  …．（1分）
當直線l斜率存在時，因為直線與拋物線交于兩不同點，所以斜率不為0，
設直線l方程為：y-1=k（x+4），即y=kx+4k+1（k≠0），
代入拋物線方程得：k²x²+（8k²+2k+1）x+（4k+1）²=0…（3分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為A，B中點坐標為（-4，1），所以x₁+x₂=-8，
所以$-\frac{8{k}^{2}+2k+1}{{k}^{2}}$=-8，得k=-$\frac{1}{2}$…（4分）
直線l的方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x+4），即x+2y+2=0…（5分）
（Ⅱ）聯(lián)立x=my-1與拋物線方程得：y²+my-1=0．
所以y₁+y₂=-m，y₁y₂=-1                 …..（6分）
又|AA₁|=-x₁+$\frac{1}{4}$=-my₁+$\frac{5}{4}$，|BB₁|=-x₂+$\frac{1}{4}$=-my₂+$\frac{5}{4}$，
所以|AA₁|+|BB₁|=-my₁+$\frac{5}{4}$-my₂+$\frac{5}{4}$=m²+$\frac{5}{2}$
|A₁B₁|=|y₁-y₂|=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴梯形AA₁B₁B的面積S=$\frac{2{m}^{2}+5}{4}•$$\sqrt{{m}^{2}+4}$…..（12分）

點評 考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查推理能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合的思想方法．