Question

5．關(guān)于函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx，下列說法錯誤的是（　�。�

• A． x=2是f（x）的極小值點
• B． 函數(shù)y=f（x）-x有且只有1個零點
• C． 存在正實數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立
• D． 對任意兩個不相等的正實數(shù)x₁，x₂，若f（x₁）=f（x₂），則x₁+x₂＞4

Answer 1

分析 對選項分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，∴（0，2）上，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=2是f（x）的極小值點，即A正確；
y=f（x）-x=$\frac{2}{x}$+lnx-x，∴y′=$\frac{{-x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$＜0，
函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，x→0，y→+∞，
∴函數(shù)y=f（x）-x有且只有1個零點，即B正確；
f（x）＞kx，可得k＜$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$，
則g′（x）=$\frac{-4+x-xlnx}{{x}^{3}}$，
令h（x）=-4+x-xlnx，則h′（x）=-lnx，
∴（0，1）上，函數(shù)單調(diào)遞增，（1，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，
∴不存在正實數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；
對任意兩個正實數(shù)x₁，x₂，且x₂＞x₁，
（0，2）上，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，
若f（x₁）=f（x₂），則x₁+x₂＞4，正確．
故選：C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．