Question

12．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）是二次函數(shù)，且y=f'（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f'（3）=0，若f（x）的極大值與極小值之和為4，則f（0）=2．

Answer 1

分析 設(shè)出函數(shù)的解析式f（x）=$\frac{1}{3}a{x}^{3}-9ax+b$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值關(guān)系求解b，然后推出結(jié)果．

解答 解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）是二次函數(shù)，且y=f'（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f'（3）=0，則f'（-3）=0，
可設(shè)導(dǎo)函數(shù)為：f'（x）=ax²-9a，函數(shù)的解析式設(shè)為：f（x）=$\frac{1}{3}a{x}^{3}-9ax+b$，
若f（x）的極大值與極小值之和為4，則f（3）+f（-3）=4，
可得：9a-27a-9a+27a+2b=4，解得b=2．
則f（0）=b=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的極值以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．