Question

2．2016高考成績(jī)揭曉，漯河高中再創(chuàng)輝煌，考后學(xué)校對(duì)于單科成績(jī)逐個(gè)進(jìn)行分析：現(xiàn)對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于等于135分為優(yōu)秀，135分以下為非優(yōu)秀，成績(jī)統(tǒng)計(jì)后，得到如下的2×2列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{11}$．

班級(jí)	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	18
乙班		43
合計(jì)			110

（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表
（2）請(qǐng)問：是否有75%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與所在的班級(jí)有關(guān)系”？
（3）用分層抽樣的方法從甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，然后再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行談話，求抽到的2名學(xué)生中至少有1名乙班學(xué)生的概率．
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05
k0	1.323	2.072	2.706	3.841

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接填寫聯(lián)列表即可．
（2）求出k²，即可判斷“數(shù)學(xué)成績(jī)與所在的班級(jí)有關(guān)系”．
（3）從甲班成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取3名，分別記為A₁，A₂，A₃，從乙班成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取2名，分別為B₁，B₂，列出所有基本事件，設(shè)“抽到的2名學(xué)生中至少有1名乙班學(xué)生”為事件A，求出事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)，然后求解概率．

解答 解：（1）

班級(jí)	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	18	37	55
乙班	12	43	55
合計(jì)	30	80	110

…（3分）
（2）由題意得${K^2}=\frac{{110{{（18×43-12×37）}^2}}}{55×55×30×80}=1.65＞1.323$
所以有75%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與所在的班級(jí)有關(guān)系”…（6分）
（3）因?yàn)榧�、乙兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)的比例為18：12=3：2，所以從甲班成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取3名，分別記為A₁，A₂，A₃，從乙班成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取2名，分別為B₁，B₂，則從抽取的5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有基本事件有A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₁A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，B₁B₂，共10個(gè)
設(shè)“抽到的2名學(xué)生中至少有1名乙班學(xué)生”為事件A，則事件A包含的基本事件有A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，B₁B₂，共7個(gè)，
所以$P（A）=\frac{7}{10}$，即抽到的2名學(xué)生中至少有1名乙班學(xué)生的概率是$\frac{7}{10}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立事件與聯(lián)列表以及古典概型概率的求法，考查分析問題解決問題的能力．