Question

18．已知拋物線C：y²=4x．
（1）過拋物線C上的點(diǎn)P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，求PQ中點(diǎn)R的軌跡D的方程；
（2）過拋物線C的焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，l與軌跡D交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出垂線段的中點(diǎn)為D（x，y），P（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，把它們坐標(biāo)之間的關(guān)系找出來，代入拋物線的方程即可；
（2）根據(jù)題意給出直線l的方程，代入拋物線，利用韋達(dá)定理、弦長公式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)D（x，y），P（x₀，y₀），Q（x₀，0），
因?yàn)镈是PQ的中點(diǎn)，所以x₀=x，y=$\frac{1}{2}$y₀，
有x₀=x，y₀=2y，
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以y₀²=4x₀，即4y²=4x，
所以y²=2x，所求點(diǎn)D軌跡方程為：y²=x．
（2）由y²=4x得焦點(diǎn)為F（1，0），所以直線l：y=x-1，
代入拋物線y²=x化簡得x²-3x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3，x₁x₂=1
所以所求的弦長為$\sqrt{2}×\sqrt{9-4}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求軌跡方程的方法，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系中的弦長問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．