Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.$，（其中φ為參數(shù)），曲線${C_2}：{x^2}+{y^2}-2y=0$，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l：θ=α（ρ≥0）與曲線C₁，C₂分別交于點(diǎn)A，B（均異于原點(diǎn)O）
（1）求曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)$0＜a＜\frac{π}{2}$時，求|OA|²+|OB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出普通方程，再求曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)$0＜α＜\frac{π}{2}$時，由（1）得${|{OA}|^2}={ρ^2}=\frac{2}{{1+{{sin}^2}α}}$，|OB|²=ρ²=4sin²α，即可求|OA|²+|OB|²的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.$，∴$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$得曲線C₁的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{2}{{1+{{sin}^2}θ}}$，
∵x²+y²-2y=0，∴曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ；
（2）由（1）得${|{OA}|^2}={ρ^2}=\frac{2}{{1+{{sin}^2}α}}$，|OB|²=ρ²=4sin²α，
∴${|{OA}|^2}+{|{OB}|^2}=\frac{2}{{1+{{sin}^2}α}}+4{sin^2}α=\frac{2}{{1+{{sin}^2}α}}+4（{1+{{sin}^2}α}）-4$
∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，∴1＜1+sin²α＜2，∴$6＜\frac{2}{{1+{{sin}^2}α}}+4（{1+{{sin}^2}α}）＜9$，
∴|OA|²+|OB|²的取值范圍為（2，5）．

點(diǎn)評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．