Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P（$\frac{3}{4}$，0）滿足|PA|=|PB|．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，且線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)P，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足方程及a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程設(shè)為y=kx+t，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，x₁x₂+y₁y₂=0，代入化簡(jiǎn)整理，再由兩直線垂直的條件，解方程可得k，進(jìn)而得到所求直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，
由|PA|=a-$\frac{3}{4}$，|PB|=$\sqrt{^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$，
|PA|=|PB|．即a-$\frac{3}{4}$=$\sqrt{^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$，
解得：a=2，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程設(shè)為y=kx+t，設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
則有x₁+x₂=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由△＞0，可得4k²+1＞t²，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{2t}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+kt•$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$+t²=$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即為x₁x₂+y₁y₂=0，
即為$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，可得5t²=4+4k²，①
由4k²+1＞t²，可得t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又設(shè)AB的中點(diǎn)為D（m，n），則m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4kt}{1+4{k}^{2}}$，n=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$，
因?yàn)橹本�PD與直線l垂直，所以k_PD=-$\frac{1}{k}$=$\frac{0-n}{\frac{3}{4}-m}$=$\frac{-\frac{t}{1+4{k}^{2}}}{\frac{3}{4}+\frac{4kt}{1+4{k}^{2}}}$，可整理得：t=-$\frac{1+4{k}^{2}}{4k}$②
解得：k²=$\frac{1}{4}$，k²=$\frac{5}{4}$，
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，t=-1，當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$，t=1，
當(dāng)k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，t=-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)k=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
滿足△＞0，
所以直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x-1，y=-$\frac{1}{2}$x+1，y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，y=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的運(yùn)用和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查圓的性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角為直角，考查直線垂直的條件和直線方程的求法，屬于中檔題．