Question

17．已知函數(shù)$f（x）=a-\frac{1}{|x|}（a≠0）$．
（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a＜$\frac{1}{x}$+2x．記g（x）=$\frac{1}{x}$+2x，在（1，+∞）上是增函數(shù)，得g（x）＞g（1）=3，由此能求出a的范圍．
（2）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m兩種情況分別討論實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，
得a-$\frac{1}{x}$＜2x即a＜$\frac{1}{x}$+2x，
記g（x）=$\frac{1}{x}$+2x，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
得g（x）＞g（1）=3，
所以：a≤3
（2）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
�。┊�(dāng)n＞m＞0時(shí)，f（x）在[m，n]上是增函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，解得：a＞2；
ⅱ） 當(dāng)0＞n＞m時(shí)，f（x）在[m，n]上是減函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，解得：a=0；
所以：a∈{0}∪（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．