Question

2．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點M∈AB₁，N∈BC₁，且AM=BN≠$\sqrt{2}$，有以下四個結(jié)論：①AA₁⊥MN；②AB∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN與A₁C₁一定是異面直線．其中正確命題的序號是（　�。�

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 過M作MO∥AB，交BB₁于O，連接ON，推導(dǎo)出BB₁⊥OM，BB₁⊥ON，從而BB₁⊥平面OMN，進而BB₁⊥MN，由此得到AA₁⊥MN；當M、N分別是AB₁，BC₁的中點時，MN與AB異面；當M不是AB₁的中點時，MN與A₁C₁可能共面；由OM∥平面A₁B₁C₁D₁，ON∥平面A₁B₁C₁D₁，知平面A₁B₁C₁D₁∥平面OMN，從而MN∥平面A₁B₁C₁D₁．

解答 解：過M作MO∥AB，交BB₁于O，連接ON，
∵AM=BN，∴$\frac{AM}{MB}$=$\frac{BO}{OB}$=$\frac{BN}{NC}$，∴ON∥B₁C₁，
∴BB₁⊥OM，BB₁⊥ON，OM∩ON=O，
∴BB₁⊥平面OMN，MN?平面OMN，
∴BB₁⊥MN，AA₁∥BB₁，∴AA₁⊥MN，故①正確；
當M、N分別是AB₁，BC₁的中點時，取A₁B₁，B₁C₁的中點E，F(xiàn)，連接ME、NF，
∵ME∥AA₁，NF∥AA₁，且ME=NF=$\frac{1}{2}$AA₁，
∴四邊形MNEF為平行四邊形，∴MN∥EF，
又EF∥A₁C₁，∴MN∥A₁C₁，此時MN與AB異面，故②錯誤；
當M不是AB₁的中點時，MN與A₁C₁可能共面，故④錯誤；
OM∥平面A₁B₁C₁D₁；ON∥平面A₁B₁C₁D₁，
∴平面A₁B₁C₁D₁∥平面OMN，MN?平面OMN，
∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，故③正確．
故選：A．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．