Question

3．已知函數f（x）=e^xsinx．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）如果對于任意的$x∈[0，\frac{π}{2}]$，f（x）≥kx恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）設函數F（x）=f（x）+e^x•cosx，$x∈[-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}]$．過點$M（\frac{π-1}{2}，0）$作函數F（x）的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標構成數列{x_n}，求數列{x_n}的所有項之和S的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，問題轉化為當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，g（x）_min≥0，根據函數的單調性求出k的范圍即可；
（3）求出函數的導數，設出切點坐標，求出切線方程，根據三角函數的性質求出S的值即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）={e^x}（sinx+cosx）=\sqrt{2}{e^x}sin（x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的增區(qū)間為$[2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}]$（k∈Z）；
減區(qū)間為$[2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{7π}{4}]$（k∈Z）．…（4分）
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx
要使f（x）≥kx恒成立，只需當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，g（x）_min≥0，
∵g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k
令h（x）=e^x（sinx+cosx），則h'（x）=2e^xcosx≥0對$x∈[0，\frac{π}{2}]$恒成立，
∴h（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上是增函數，則$h（x）∈[1，{e^{\frac{π}{2}}}]$，
①當k≤1時，g'（x）≥0恒成立，g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上為增函數，
∴g（x）_min=g（0）=0，∴k≤1滿足題意；
②當$1＜k＜{e^{\frac{π}{2}}}$時，g'（x）=0在$[0，\frac{π}{2}]$上有實根x₀，h（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上是增函數，
則當x∈[0，x₀）時，g'（x）＜0，∴g（x₀）＜g（0）=0不符合題意；
③當$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$時，g'（x）≤0恒成立，g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上為減函數，
∴g（x）＜g（0）=0不符合題意，∴k≤1，即k∈（-∞，1]．…（8分）
（3）∵F（x）=f（x）+e^xcosx=e^x（sinx+cosx）∴F'（x）=2e^xcosx，
設切點坐標為$（{x_0}，{e^{x_0}}（sin{x_0}+cos{x_0}））$，則切線斜率為$F'（{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}$，
從而切線方程為$y-{e^{x_0}}（sin{x_0}+cos{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}（x-{x_0}）$，
∴$-{e^{x_0}}（sin{x_0}+cos{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}（\frac{π-1}{2}-{x_0}）$$?tan{x_0}=2（{x_0}-\frac{π}{2}）$，
令y₁=tanx，${y_2}=2（x-\frac{π}{2}）$，這兩個函數的圖象均關于點$（\frac{π}{2}，0）$對稱，
則它們交點的橫坐標也關于$x=\frac{π}{2}$對稱，
從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數列{x_n}的項也關于$x=\frac{π}{2}$成對出現(xiàn)，
又在$[-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}]$共有1008對，每對和為π．
∴S=1008π．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，考查三角函數的性質以及轉化思想，是一道綜合題．