Question

4．直線l：y=kx與曲線C：y=x³-4x²+3x順次相交于A，B，C三點，若|AB|=|BC|，則k=（　�。�

• A． -5
• B． -$\frac{5}{9}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 聯立直線方程與曲線方程，求出A（0，0），B，C的橫坐標為方程x²-4x+3-k=0的兩根，結合|AB|=|BC|，可得方程x²-4x+3-k=0兩根的關系，求出根代入即可求得k值．

解答 解：聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{3}-4{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$，得x³-4x²+3x-kx=0，
∴x=0或x²-4x+3-k=0，
∵直線l：y=kx與曲線C：y=x³-4x²+3x順次相交于A，B，C三點，
∴方程x²-4x+3-k=0有兩不相等的實數根，
又方程x²-4x+3-k=0的對稱軸方程為x=2，則方程至少有一正根，
結合對稱性進一步得到方程有兩正根，且A（0，0），
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由|AB|=|BC|，得x₁-0=x₂-x₁，即x₂=2x₁，
由x²-4x+3-k=0，得$x=\frac{4±\sqrt{16-4（3-k）}}{2}=2±\sqrt{k+1}$．
∴${x}_{1}=2-\sqrt{k+1}，{x}_{2}=2+\sqrt{k+1}$，
則$2+\sqrt{k+1}=2（2-\sqrt{k+1}）$，解得：k=-$\frac{5}{9}$．
故選：B．

點評 本題考查曲線與方程，考查了推理論證能力與運算能力，是中檔題．