Question

10．已知f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），a＞0且a≠1，則使f（x）-g（x）＞0成立的x的集合是當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}；當a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．

Answer 1

分析 利用函數的奇偶性整理不等式為log_a（x+1）＞log_a（1-x），對底數a分類討論得出x的范圍．

解答 解：f（x）-g（x）＞0，即 log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
當0＜a＜1時，上述不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\\{x+1＜1-x}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜0；
當a＞1時，原不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\\{x+1＞1-x}\end{array}\right.$，解得0＜x＜1．
綜上所述，當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}；
當a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．
故答案為：當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}；a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．

點評 本題考查不等式的解法，對底數a的分類討論是關鍵．