Question

6．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC與BD交于點E，過點A作圓的切線交CB的延長線于點F，若AB=AD，AD∥FC，AF=18，BC=15，求AE的長．

Answer 1

分析 由切割線定理，求出FB，再證明四邊形ADBF為平行四邊形，求出AD=AB，利用$\frac{AE}{18-AE}$=$\frac{AD}{BC}$，可求AE的長．

解答 解：∵AF是圓的切線，且AF=18，BC=15，
∴由切割線定理知AF²=FB•FC，即18²=FB•（FB+15），解得FB=12．
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
又∵AF是圓的切線，
∴∠FAB=∠ADB．
則∠FAB=∠ABD，
∴AF∥BD，
又∵AD∥FC，
∴四邊形ADBF為平行四邊形，------------------（5分）
∴AD=FB=12．
又∠ACF=∠ADB=∠F，
∴AC=AF=18．
∵AD∥FC，
∴$\frac{AE}{18-AE}$=$\frac{AD}{BC}$，解得AE=8．-----------------------------（10分）

點評 本題考查與圓有關的比例線段，考查切割線定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．