Question

6．設(shè)拋物線f_n（x）=x²-2ⁿ⁺¹x+4ⁿ+2n的頂點(diǎn)為P_n（a_n，b_n），c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 由拋物線的性質(zhì)得c_n=a_n+b_n=2ⁿ+2²ⁿ⁺¹+2n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵拋物線f_n（x）=x²-2ⁿ⁺¹x+4ⁿ+2n的頂點(diǎn)為P_n（a_n，b_n），
∴${a}_{n}=-\frac{-{2}^{n+1}}{2×1}$=2ⁿ，b_n=$\frac{4×1×（{4}^{n}+2n）-（-{2}^{n+1}）^{2}}{4×1}$=2（4ⁿ+n），
∴c_n=a_n+b_n=2ⁿ+2²ⁿ⁺¹+2n，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹）+（2+4+6+8+…+2n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$+$\frac{n}{2}（2+2n）$
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{8}{3}（{4}^{n}-1）$+n²+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查拋物線性質(zhì)、等比數(shù)列、分組求和法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．