Question

16．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為2，且滿足$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-n（n+1）a_{n+1}^2=0$，公差不為零的等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₅=15，且b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列，設(shè)${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出a_n=（n+1）a_n-1，從而a_n-1=na_n-2，a_n-2=（n-1）a_n-3，…，a₂=3a₁，上面n-1個(gè)式子相乘，能求出a_n=（n+1）!．
（2）設(shè){b_n}的公差d，5b₁+10d=15，（b₁+2d）²=b₁（b₁+8d），解得b₁=1，d=1，b_n=n，從而c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）!}$=$\frac{n•n!}{（n+1）!n!}$=$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為2，且滿足$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-n（n+1）a_{n+1}^2=0$，
∴${{a}_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}-n（n+1）{{a}_{n+1}}^{2}$
=（a_n+na_n-1）（a_n-（n+1）a_n+1）=0，
∵a_n+na_n-1＞0，∴a_n=（n+1）a_n-1，
∴a_n-1=na_n-2，a_n-2=（n-1）a_n-3，…，a₂=3a₁，
上面n-1個(gè)式子相乘，得：
a_n=（n+1）!．
（2）設(shè){b_n}的公差d，5b₁+10d=15，（b₁+2d）²=b₁（b₁+8d），
解得b₁=1，d=1，b_n=n，
c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）!}$=$\frac{n•n!}{（n+1）!n!}$=$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$=1-$\frac{1}{（n+1）!}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查累乘法、裂項(xiàng)求和法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．