分析 (1)推導(dǎo)出an=(n+1)an-1,從而an-1=nan-2,an-2=(n-1)an-3,…,a2=3a1,上面n-1個(gè)式子相乘,能求出an=(n+1)!.
(2)設(shè){bn}的公差d,5b1+10d=15,(b1+2d)2=b1(b1+8d),解得b1=1,d=1,bn=n,從而cn=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{(n+1)!}$=$\frac{n•n!}{(n+1)!n!}$=$\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$,由此能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
解答 解:(1)∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}首項(xiàng)為2,且滿足$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-n(n+1)a_{n+1}^2=0$,
∴${{a}_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}-n(n+1){{a}_{n+1}}^{2}$
=(an+nan-1)(an-(n+1)an+1)=0,
∵an+nan-1>0,∴an=(n+1)an-1,
∴an-1=nan-2,an-2=(n-1)an-3,…,a2=3a1,
上面n-1個(gè)式子相乘,得:
an=(n+1)!.
(2)設(shè){bn}的公差d,5b1+10d=15,(b1+2d)2=b1(b1+8d),
解得b1=1,d=1,bn=n,
cn=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{(n+1)!}$=$\frac{n•n!}{(n+1)!n!}$=$\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$,
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和:
Tn=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$=1-$\frac{1}{(n+1)!}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,考查累乘法、裂項(xiàng)求和法等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | (0,1) | B. | (1,2) | C. | (2,+∞) | D. | ($\frac{3}{2}$,+∞) |
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