8.已知直線l:x-y=1與圓M:x2+y2-2x+2y=0相交于A,C兩點(diǎn),點(diǎn)B,D分別在圓M上運(yùn)動(dòng),且位于直線AC兩側(cè),則四邊形ABCD面積的最大值為2$\sqrt{3}$.

分析 先求出弦長(zhǎng)|AB|的長(zhǎng)度,然后結(jié)合圓與直線的位置關(guān)系圖象,然后將ABCD的面積看成兩個(gè)三角形△ABC和△ACD的面積之和,分析可得當(dāng)BD為AC的垂直平分線時(shí),四邊形ABCD的面積最大.

解答 解:把圓Γ:x2+y2-2x+2y-1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-1)2+(y+1)2=2,圓心(1,-1),半徑r=$\sqrt{2}$.
直線與圓相交,由點(diǎn)到直線的距離公式的弦心距d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
由勾股定理的弦長(zhǎng)|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-sucukea^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$2=\sqrt{6}$,
又B,D兩點(diǎn)在圓上,并且位于直線l的兩側(cè),
四邊形ABCD的面積可以看成是兩個(gè)三角形△ABC和△ACD的面積之和,
如圖所示,當(dāng)B,D為如圖所示位置,即BD為弦AC的垂直平分線時(shí)(即為直徑時(shí)),
兩三角形的面積之和最大,即四邊形ABCD的面積最大,
最大面積為:S=$\frac{1}{2}$×|AB|×|CE|+$\frac{1}{2}$×|AB|×|DE|=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$,
故答案為:2$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題涉及到圓與位置關(guān)系的題目,可采用數(shù)形結(jié)合思想,實(shí)現(xiàn)代數(shù)和幾何間的轉(zhuǎn)化,然后分析題目具體問題,求解即可,屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知m,n為空間中兩條不同的直線,α,β為空間中兩個(gè)不同的平面,下列命題正確的是( 。
A.若n⊥α,n⊥β,m?β則m∥αB.若m⊥α,α⊥β,則m∥β
C.若m,n在γ內(nèi)的射影互相平行,則m∥nD.若m⊥l,α∩β=l,則m⊥α

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19.命題p:“?x0∈R,x02-x0>0”,則¬p是(  )
A.?x0∈R,x02-x0<0B.?x0∈R,x02-x0≤0C.?x∈R,x2-x<0D.?x∈R,x2-x≤0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}首項(xiàng)為2,且滿足$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-n(n+1)a_{n+1}^2=0$,公差不為零的等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,S5=15,且b1,b3,b9成等比數(shù)列,設(shè)${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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3.已知離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$的雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若線段OF的垂直平分線與雙曲線一條漸近線的交點(diǎn)到另一條漸近線的距離為λc(c為半焦距,λ>0),則實(shí)數(shù)λ的值是( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.2D.3

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13.在直角坐標(biāo)平面上,O為原點(diǎn),M為動(dòng)點(diǎn),$|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{5},\overrightarrow{ON}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\overrightarrow{OM}$.過點(diǎn)M作MM1⊥y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點(diǎn)N1,$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{{M_1}M}+\overrightarrow{{N_1}N}$.記點(diǎn)T的軌跡為曲線C,點(diǎn)A(5,0)、B(1,0),過點(diǎn)A作直線l交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在A與P之間).
(1)求曲線C的方程;  
(2)問是否存在直線l,使得|BP|=|BQ|;若存在,求出直線l方程,若不存在,說明理由.

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20.已知雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,第二象限的點(diǎn)M在雙曲線C的漸近線上,且|OM|=a,若直線|MF|的斜率為$\frac{a}$,則雙曲線C的漸近線方程為( 。
A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±4x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.已知z∈C,i是虛數(shù)單位,$\overline{z}$是z的共軛復(fù)數(shù),則下列說法與“z為純虛數(shù)”不等價(jià)的是( 。
A.z2<0B.$z+\overline{z}=0$
C.Rez=0且 Imz≠0D.z=|z|i或z=-|z|i,且|z|≠0

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18.已知一個(gè)三角形內(nèi)有2016個(gè)點(diǎn),且任意一個(gè)點(diǎn)都不在其他任何兩點(diǎn)的連線上,則這些點(diǎn)(含三角形三個(gè)頂點(diǎn))將該三角形分成互相沒有重合部分的三角形區(qū)域有( 。
A.4033個(gè)B.4032個(gè)C.2017個(gè)D.2016個(gè)

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