Question

20．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，第二象限的點M在雙曲線C的漸近線上，且|OM|=a，若直線|MF|的斜率為$\frac{a}$，則雙曲線C的漸近線方程為（　　）

• A． y=±x
• B． y=±2x
• C． y=±3x
• D． y=±4x

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，運用同角的三角函數(shù)關(guān)系式，求得M的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式，化簡可得a，b的關(guān)系，即可得到所求漸近線方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由|OM|=a，
即有M（-acos∠MOF，asin∠MOF），
即為tan∠MOF=$\frac{a}$，sin²∠MOF+cos²∠MOF=1，
解得cos∠MOF=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{a}{c}$，sin∠MOF=$\frac{c}$，
可得M（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
設(shè)F（-c，0），由直線MF的斜率為$\frac{a}$，
可得$\frac{\frac{ab}{c}-0}{-\frac{{a}^{2}}{c}+c}$=$\frac{a}$，
化簡可得c²=2a²，b²=c²-a²=a²，
即有雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±x．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的求法，考查直線的斜率公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．