3.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),f(x)=mex,g(x)=x+3,φ(x)=f(x)+g(x),h(x)=f(x)-g(x-2)-2017.
(Ⅰ)設(shè)m=1,求h(x)的極值;
(Ⅱ)設(shè)m<-e2,求證:函數(shù)φ(x)沒有零點(diǎn);
(Ⅲ)若m≠0,設(shè)$F(x)=\frac{m}{f(x)}+\frac{4x+4}{\begin{array}{l}g(x)-1\end{array}}$,求證:F(x)>3.

分析 (Ⅰ)設(shè)m=1,求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求h(x)的極值;
(Ⅱ)設(shè)m<-e2,證明當(dāng)x=ln(-$\frac{1}{m}$)時(shí),函數(shù)φ(x)取得最大值,最大值為ϕ[ln(-$\frac{1}{m}$)]=2-ln(-m),即可證明:函數(shù)φ(x)沒有零點(diǎn);
(Ⅲ)x>0,F(xiàn)(x)>3化為(x-2)ex+x+2>0,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可證明結(jié)論.

解答 (Ⅰ)解:∵f(x)=mex,g(x)=x+3,m=1,
∴f(x)=ex,g(x-2)=x+1,
∴h(x)=f(x)-g(x-2)-2017=ex-x-2018.
∴h'(x)=ex-1,由h'(x)=0得x=0.
∵e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),∴h'(x)=ex-1是增函數(shù).
∴當(dāng)x<0時(shí),h'(x)<0,即h(x)是減函數(shù);
當(dāng)x>0時(shí),h'(x)>0,即h(x)是增函數(shù).
∴函數(shù)h(x)沒有極大值,只有極小值,且當(dāng)x=0時(shí),h(x)取得極小值.
∴h(x)的極小值為h(0)=-2017.
(Ⅱ)證明:∵f(x)=mex,g(x)=x+3,
∴φ(x)=f(x)+g(x)=m•ex+x+3,∴φ'(x)=m•ex+1.
∵m<-e2<0,∴φ'(x)=m•ex+1是減函數(shù).
由φ'(x)=m•ex+1=0解得x=ln(-$\frac{1}{m}$).
當(dāng)x∈(-∞,ln(-$\frac{1}{m}$))時(shí),φ'(x)=m•ex+1>0,此時(shí)函數(shù)φ(x)是增函數(shù),
當(dāng)x∈(ln(-$\frac{1}{m}$),+∞)時(shí),φ'(x)=m•ex+1<0,此時(shí)函數(shù)φ(x)是減函數(shù),
∴當(dāng)x=ln(-$\frac{1}{m}$)時(shí),函數(shù)φ(x)取得最大值,最大值為ϕ[ln(-$\frac{1}{m}$)]=2-ln(-m).
∵m<-e2,∴2-ln(-m)<0,∴φ(x)<0,
∴當(dāng)m<-e2時(shí),函數(shù)φ(x)沒有零點(diǎn).
(Ⅲ)證明:∵f(x)=mex,g(x)=x+3,
F(x)=$\frac{m}{f(x)}$+$\frac{4x+4}{g(x)-1}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x+4}{x+2}$,
∵x>0,∴F(x)>3化為(x-2)ex+x+2>0.
設(shè)u(x)=(x-2)ex+x+2,則u′(x))=(x-1)ex+1.
設(shè)v(x)=(x-1)ex+1,則v′(x)=xex
∵x>0,∴v'(x)>0.
又∵當(dāng)x=0時(shí),v'(x)=0,∴函數(shù)v(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).
∵x>0,∴v(x)>v(0),即v(x)>0.
又∵x=0,v(x)=0,
∴當(dāng)x>0時(shí),u'(x)>0;當(dāng)x=0時(shí),u'(x)=0,
∴函數(shù)u(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).
∴當(dāng)x>0時(shí),u(x)>u(0),即(x-2)e_+x+2>0.
∴當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)(x)>3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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