Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜a²-1有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）討論x的范圍，去絕對(duì)值符號(hào)解出；
（II）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出f_min（x），令f_min（x）＜a²-1解出．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=|{x-2}|+|{x+2}|=\left\{\begin{array}{l}2x，x＞2\\ 4，-2≤x≤2\\-2x，x＜-2\end{array}\right.$．
當(dāng)x＞2時(shí)，可得2x＞6，解得x＞3．
當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，因?yàn)?＞6不成立，故此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)x＜-2時(shí)，由-2x＞6得，x＜-3，故此時(shí)x＜-3．
綜上所述，不等式f（x）＞6的解集為（-∞，-3）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）∵f（x）=|x-a|+|x+a|≥|x-a-x-a|=|2a|，
要使關(guān)于x的不等式f（x）＜a²-1有解，只需|2a|＜a²-1即可．
當(dāng)a≥0時(shí)，2a＜a²-1，解得$a＞1+\sqrt{2}$，或$a＜1-\sqrt{2}$（舍去）；
當(dāng)a＜0時(shí)，-2a＜a²-1，解得$a＞-1+\sqrt{2}$（舍去），或$a＜-1-\sqrt{2}$；
所以，a的取值范圍為$（-∞，-1-\sqrt{2}）∪（1+\sqrt{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等．