Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{（a-1）x+a}{{b{x^2}+c}}$（a，b，c為常數(shù)）．
（1）當b=1，c=0時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞1；
（2）當b=c＞0，a=2時，若f（x）＜1對于x＞0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當b=1，c=0時，化簡f（x）＞1，通過①當a＜-1時，②當a=-1時，③當-1＜a≤0時，④當a＞0時，求出原不等式的解集即可．
（2）當b=c，a=2時，通過$f（x）＜1?\frac{x+2}{{b{x^2}+b}}＜1$，得到b的不等式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）當b=1，c=0時，f（x）＞1?x²-（a-1）x-a＜0（x≠0）；
?（x-a）（x+1）＜0討論：①當a＜-1時，原不等式的解集為（a，-1）；
②當a=-1時，原不等式的解集為∅；
③當-1＜a≤0時，原不等式的解集為（-1，a）；
④當a＞0時，原不等式的解集為（-1，0）∪（0，a）．
（2）當b=c，a=2時，$f（x）＜1?\frac{x+2}{{b{x^2}+b}}＜1$，$?b＞\frac{x+2}{{{x^2}+1}}（x＞0）$；
令t=x+2，則$g（x）=\frac{x+2}{{{x^2}+1}}=\frac{t}{{{{（t-2）}^2}+1}}=\frac{1}{{t+\frac{5}{t}-4}}≤\frac{1}{{2\sqrt{5}-4}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}+1$；
當且僅當t=$\sqrt{5}$即x=$\sqrt{5}-2$時取等號．   
故$b＞\frac{{\sqrt{5}}}{2}+1$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，不等式的應(yīng)用，基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．