Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax³-x+1的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過點(diǎn)（2，3）．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，得到關(guān)于a的方程，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=3ax²-1，∴f'（1）=3a-1，
又f（1）=a，∴切線方程為y-a=（3a-1）（x-1），
∵切線過點(diǎn)（2，3），
∴3-a=3a-1，
解得a=1；
（2）由f（x）=3x²-1=0，
解得：${x_1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，{x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	$（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$	$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$	$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以${x_1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是極大值點(diǎn)，${x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是極小值點(diǎn)，
f（x）的極大值為$f（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}+1$；
f（x）的極小值為$f（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．